Produtos Notáveis

Ensino Médio: Produtos Notáveis (33 Identidades)

1. Quadrado da soma de dois termos
   (a+b)² = a² + b² + 2ab
   Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4
2. Quadrado da diferença de dois termos
   (a-b)² = a² + b² - 2ab
   Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5
3. Diferença de potências (ordem 2)
   a² - b² = (a+b)(a-b)
   Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5)
4. Cubo da soma de dois termos
   (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
   Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³
5. Cubo da soma de dois termos na forma simplificada
   (a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²
   Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)²
6. Cubo da diferença de dois termos
   (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
   Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³
7. Identidade de Fibonacci
   (a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²
   Exemplo: (1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)²
8. Identidade de Platão
   (a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²
   Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²
9. Identidade de Lagrange (4 termos)
   (a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²
   Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)²
10. Identidade de Lagrange (6 termos)
    (a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)²
    = (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)²
    Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)²
    =(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)²
11. Identidade de Cauchy (n=3)
    (a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b)
    Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7)
12. Identidade de Cauchy (n=5)
    (a+b)⁵ - a⁵ - b⁵ = 5ab(a+b)(a²+ab+b²)
    Exemplo: (1+2)⁵-1⁵-2⁵=5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²)
13. Quadrado da soma de n termos
    
    sendo que i<j.
    Exemplos:

    (a+b)²=a²+b²+2(ab)
    (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
    (a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
    

14. Cubo da soma de n termos
    
    sendo que i<j e i<j<k.
15. Diferença entre os quadrados da soma e diferença
    (a+b)² - (a-b)² = 4ab
    Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9
16. Soma dos quadrados da soma e da diferença
    (a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
    Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²)
17. Soma de dois cubos
    a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)
    Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4)
18. Soma de dois cubos na forma fatorada
    a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
    Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²)
19. Transformação do produto na diferença de quadrados
    ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²
    Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]²
20. Diferença de potências (ordem 4)
    a⁴-b⁴ = (a-b)(a+b)(a²+b²)
    Exemplo: 5⁴-1⁴=(5-1)(5+1)(5²+1²)
21. Diferença de potências (ordem 6)
    a⁶-b⁶ = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
    Exemplo: 5⁶-1⁶=(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²)
22. Diferença de potências (ordem 8)
    a⁸ - b⁸ = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a⁴+b⁴)
    Exemplo: 5⁸-1⁸=(5-1)(5+1)(5²+1²)(5⁴+1⁴)
23. Produto de três diferenças
    (a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)
    Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1)
24. Produto de três somas
    (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc
    Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5
25. Soma de cubos das diferenças de três termos
    (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a)
    Exemplo: (1-3)³+(3-5)³+(5-1)³=3(1-3)(3-5)(5-1)
26. Cubo da soma de três termos
    (a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc
    Exemplo: (7+8+9)³=(7+8-9)³+(8+9-7)³+(7+9-8)³+24×7×8×9
27. Soma nula de produtos de cubos por diferenças
    a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0
    Exemplo: 2³(4-6)+4³(6-2)+6³(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0
28. Soma de produtos de cubos com diferenças
    a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c)
    Exemplo: 7³(8-9)³+8³(9-7)³+9³(7-8)³=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9)
29. Produto de dois fatores homogêneos de grau dois
    (a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a⁴+a² b²+b⁴
    Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=5⁴+5² 7²+7⁴
30. Soma de quadrados de somas de dois termos
    (a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c²
    Exemplo: (1+3)²+(3+5)²+(1+5)²=(1+3+5)²+1²+3²+5²
31. Produto de quadrados de fatores especiais
    (a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a⁴-b⁴)²
    Exemplo: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(7⁴-3⁴)²
32. Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1
    (a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²)
    Exemplo:

    (7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-7)²=3(7²+8²+9²)

33. Identidade de interpolação
    
    Exemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos:
    

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Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/polinom/prodnot.htm

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TABELA TRIGONOMÉTRICA

Ângulo	sen	cos	tg
1	0,017452	0,999848	0,017455
2	0,034899	0,999391	0,034921
3	0,052336	0,99863	0,052408
4	0,069756	0,997564	0,069927
5	0,087156	0,996195	0,087489
6	0,104528	0,994522	0,105104
7	0,121869	0,992546	0,122785
8	0,139173	0,990268	0,140541
9	0,156434	0,987688	0,158384
10	0,173648	0,984808	0,176327
11	0,190809	0,981627	0,19438
12	0,207912	0,978148	0,212557
13	0,224951	0,97437	0,230868
14	0,241922	0,970296	0,249328
15	0,258819	0,965926	0,267949
16	0,275637	0,961262	0,286745
17	0,292372	0,956305	0,305731
18	0,309017	0,951057	0,32492
19	0,325568	0,945519	0,344328
20	0,34202	0,939693	0,36397
21	0,358368	0,93358	0,383864
22	0,374607	0,927184	0,404026
23	0,390731	0,920505	0,424475
24	0,406737	0,913545	0,445229
25	0,422618	0,906308	0,466308
26	0,438371	0,898794	0,487733
27	0,45399	0,891007	0,509525
28	0,469472	0,882948	0,531709
29	0,48481	0,87462	0,554309
30	0,5	0,866025	0,57735
31	0,515038	0,857167	0,600861
32	0,529919	0,848048	0,624869
33	0,544639	0,838671	0,649408
34	0,559193	0,829038	0,674509
35	0,573576	0,819152	0,700208
36	0,587785	0,809017	0,726543
37	0,601815	0,798636	0,753554
38	0,615661	0,788011	0,781286
39	0,62932	0,777146	0,809784
40	0,642788	0,766044	0,8391
41	0,656059	0,75471	0,869287
42	0,669131	0,743145	0,900404
43	0,681998	0,731354	0,932515
44	0,694658	0,71934	0,965689
45	0,707107	0,707107	1
46	0,71934	0,694658	1,03553
47	0,731354	0,681998	1,072369
48	0,743145	0,669131	1,110613
49	0,75471	0,656059	1,150368
50	0,766044	0,642788	1,191754
51	0,777146	0,62932	1,234897
52	0,788011	0,615661	1,279942
53	0,798636	0,601815	1,327045
54	0,809017	0,587785	1,376382
55	0,819152	0,573576	1,428148
56	0,829038	0,559193	1,482561
57	0,838671	0,544639	1,539865
58	0,848048	0,529919	1,600335
59	0,857167	0,515038	1,664279
60	0,866025	0,5	1,732051
61	0,87462	0,48481	1,804048
62	0,882948	0,469472	1,880726
63	0,891007	0,45399	1,962611
64	0,898794	0,438371	2,050304
65	0,906308	0,422618	2,144507
66	0,913545	0,406737	2,246037
67	0,920505	0,390731	2,355852
68	0,927184	0,374607	2,475087
69	0,93358	0,358368	2,605089
70	0,939693	0,34202	2,747477
71	0,945519	0,325568	2,904211
72	0,951057	0,309017	3,077684
73	0,956305	0,292372	3,270853
74	0,961262	0,275637	3,487414
75	0,965926	0,258819	3,732051
76	0,970296	0,241922	4,010781
77	0,97437	0,224951	4,331476
78	0,978148	0,207912	4,70463
79	0,981627	0,190809	5,144554
80	0,984808	0,173648	5,671282
81	0,987688	0,156434	6,313752
82	0,990268	0,139173	7,11537
83	0,992546	0,121869	8,144346
84	0,994522	0,104528	9,514364
85	0,996195	0,087156	11,43005
86	0,997564	0,069756	14,30067
87	0,99863	0,052336	19,08114
88	0,999391	0,034899	28,63625
89	0,999848	0,017452	57,28996
90	1	0	-

Fonte: http://somatematica.com.br/emedio/tabtrig.php