Teoria dos Conjuntos
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Conjunto complementar
Complementar de A com respeito a R e é representada por CRA = R - A.
No caso dos alunos de uma classe, o conjunto complementar do conjunto dos alunos presentes à aula será formado pelos alunos ausentes à aula.
União e intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e representamos por: A U B.
Formalmente temos que: A U B = {x / x Î A ou x Î B}
A união de conjuntos obedece às seguintes propriedades:
→ Propriedade comutativa: A U B = B U A
→ Propriedade associativa: A U (B U C) = (A U B) U C
→ Elemento Neutro: A U Ø = A
Utilizando os diagramas de Venn (Figura abaixo), verificamos algumas das propriedades acima.
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por: A ∩ B
Formalmente temos que: A ∩ B = {x| xÎA e xÎB}
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por: A ∩ B
Formalmente temos que: A ∩ B = {x| xÎA e xÎB}
A intersecção de dois conjuntos obedece às seguintes propriedades:
→ Propriedade comutativa: A ∩ B = B ∩ A
→ Propriedade associativa: A ∩ (B∩C) = (A∩B) ∩ C
→ Propriedade de idempotência: A ∩ A = A
→ A ∩ Ø = Ø
Relacionando união e intersecção, surgem duas outras propriedades interessantes:
→ Propriedade distributiva da união com relação à intersecção: A U (B∩C) = (AUB) ∩ (AUC);
→ Propriedade distributiva da intersecção com relação à união: A ∩ (BUC) = (A∩B) U (A∩C).
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, escrito A x B, é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), em que o primeiro elemento a pertence a A e o segundo elemento b pertence a B.
Simbolicamente, podemos escrever:
A X B = {(a, b)| a Î A, b Î B}
Se A = {1, 2} e B = {x, y, z}, então: A X B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}
O conjunto A x B tem 2 x 3 = 6 elementos.
Em geral, se A tem a elementos e B tem b elementos, A x B tem a x b elementos, isto é:
se n(A) = a e n(B) = b, temos que n(A x B) = a x b.
É importante salientar que os pares ordenados recebem estes nomes por se constituírem de 2 elementos em que é fundamental a ordem na qual se apresentam.
No exemplo, o par (1, x) pertence a A x B. Mas o mesmo não acontece com o par (x, 1), que pertenceria ao produto B x A.
É por isso que se afirma que o produto cartesiano não tem a propriedade comutativa. Ele pode ser representado de várias formas:
→ Com um diagrama de flechas.
→ Com um diagrama cartesiano.
→ Com um diagrama em árvore.
As propriedades do produto cartesiano são as seguintes:
→ Propriedade associativa: (A x B) x C = A x (B x C) = A x B x C
→ A x Ø = Ø
→ A x B = Ø se, e somente se, A = Ø ou B = Ø
→ Se C ≠ Ø e A x C = B x C, então: A = B
Os conjuntos numéricos
A expansão contínua do campo numérico chegou, no final do século XIX, de forma totalmente desordenada. Os matemáticos estruturaram, então, uma teoria de conjuntos numéricos que, de certa forma, seguiu a lógica do processo histórico de criação do número.
O conjunto dos números naturais IN
O mais simples. Por ser um conjunto discreto, pode ter uma representação explícita:
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}
O conjunto dos números inteiros Z
É o que resulta da expansão de IN na integração dos números negativos. Por ser um conjunto discreto, pode ter representação explícita: Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}.
O conjunto dos números racionais Q
É a expansão do conjunto Z, na qual o campo numérico passa a ocupar a parte racional da continuidade.
Por não ocupá-la completamente, é considerado um conjunto denso, sem representação explícita. Pode existir na reta, desde que se indiquem os espaços vazios da descontinuidade, que correspondem aos números irracionais, também à esquerda de zero.
O conjunto dos números reais IR
É a expansão do conjunto Q na qual o campo numérico passa a ocupar toda a continuidade, graças à união dos campos racional e irracional. Por se tratar de um conjunto contínuo, não tem representação explícita. É um conjunto numérico que ocupa todos os pontos da reta, também à esquerda de zero.
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